home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ CD Magazyn 1996 June / CD Magazyn 1996.06.iso / e063 / demo.zad < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1995-09-11  |  18.8 KB  |  1,301 lines
  1. ¡¡Plik przykÆadowy z zadaniami dotyczåcymi ciågów. 
  2.  
  3.    Ciågiem nazywamy dowolnå funkcjæ, której argumentami 
  4.  
  5. så  liczby  naturalne; dziedzinå ciågu zawsze jest jaki₧ 
  6.  
  7. podzbiór  zbioru  liczb  naturalnych;  warto₧ci mogå byì 
  8.  
  9. dowolne,   ale  przewaºnie  så  to  liczby  rzeczywiste. 
  10.  
  11. PrzykÆadem ciågu moºe byì funkcja  f(n)=2n. 
  12.  
  13.    Ciågi skoñczone moºemy zapisywaì w postaci aÄ ,aô ,aö  
  14.                                               
  15. lub   w  postaci  a½  .  Ciågi  nieskoñczone  zapisujemy 
  16.                    
  17. aÄ,aô,aö ,... albo (a½ ). Argument n moºemy uwaºaì,takºe 
  18.  
  19. za   numer   wyrazu   w   ciågu.  Istniejå  takºe  ciågi 
  20.  
  21. nieliczbowe,   kaºde   sÆowo   jest  skoñczonym  ciågiem 
  22.  
  23. nieliczbowym.  Wyrazami ciågu mogå byì,takºe funkcje czy 
  24.  
  25. figury geometryczne. 
  26.  
  27. Ciåg   liczbowy  (a½  )  nazywamy  arytmetycznym (postæp
  28.                    
  29. arytmetyczny),je₧li dla  kaºdego n róºnica a½²Ä - a½ = r 
  30.                                                 
  31. jest   staÆa.   Ciåg  arytmetyczny   moºna   zdefiniowaì 
  32.  
  33. indukcyjnie   aÄ = a  i  a½²Ä = a½ + r .   Kaºdy, oprócz 
  34.                         
  35. pierwszego,   wyraz  ciågu  arytmetycznego jest  ₧redniå 
  36.  
  37. wyrazów z nim såsiadujåcych. 
  38.  
  39.  
  40.  
  41.                      a½■Ä + a½²Ä 
  42.          a½  = ───────────────────────── 
  43.                           2 
  44.  
  45.  
  46.  
  47. Kaºdy  ciåg  speÆniajåcy  podany  warunek  jest  ciågiem 
  48.  
  49. arytmetycznym. 
  50.  
  51. Jeºeli ciåg jest ciågiem arytmetycznym, r = a½²Ä - a½ to 
  52.                                                  
  53. dowolny wyraz tego ciågu wyraºa siæ wzorem : 
  54.  
  55.                       a½ = aÄ + (n - r)r 
  56.                            
  57.  
  58. Suma   n  poczåtkowych  wyrazów  ciågu arytmetycznego  o 
  59.  
  60. róºnicy r, wyraºa siæ wzorem :
  61.  
  62.                  S½ = aÄ + aô + ... + a½ 
  63.           
  64.  
  65.  
  66.                       n(aÄ + a½)
  67.              S½ = ──────────────────
  68.                            2
  69.  
  70.  
  71. Ciåg  liczbowy nazywamy geometrycznym jeºeli dla kaºdego 
  72.  
  73. n   speÆniony    jest   warunek     a½²Ä = qa½.    Kaºdy, 
  74.  
  75. poczynajåc   od  drugiego,  wyraz  ciågu  geometrycznego 
  76.  
  77. powstaje  z  pomnoºenia  wyrazu poprzedniego przez staÆå 
  78.  
  79. liczbæ q zwanå ilorazem tego ciågu. Kolejne wyrazy ciågu 
  80.                                     
  81. geometrycznego  to aÄ, aÄq, aÄqä, aÄqà, ... . N-ty wyraz 
  82.                           
  83. ciågu geometrycznego moºemy okre₧liì wzorem a½ = aÄq⌐·â. 
  84.                                                  
  85. Suma  n  poczåtkowych  wyrazów  ciågu  geometrycznego  o 
  86.  
  87. pierwszym  wyrazie  aÄ i ilorazie q, wyraºa siæ wzorem : 
  88.                      
  89.                             
  90.                       aÄ(1 -q⌐)
  91.             S½ = ─────────────────
  92.                        1 - q
  93. ¡
  94.  
  95.    Znajdª  n-ty  wyraz  a½  ciågu   arytmetycznego  (a½),
  96.                                                    
  97. jeºeli: 
  98.  
  99.  
  100.  
  101.       aÄ  =  8,          r  =  5,          n  =  15, 
  102.          
  103.  
  104.   A.       48;  B.       40;  C.       50;  D.       78; 
  105.  
  106. ¡ 
  107. D 
  108.  
  109.    Naleºy podane  warto₧ci  podstawiì  do  wzoru na n-ty  
  110.  
  111. wyraz ciågu.
  112.  
  113.  
  114.     a½ = aÄ + (n-1)r.
  115.       
  116. ¡ 
  117.  
  118.    Naleºy podane  warto₧ci  podstawiì  do  wzoru na n-ty  
  119.  
  120. wyraz ciågu.
  121.  
  122.  
  123.     a½ = aÄ + (n-1)r.
  124.  
  125.  
  126.     aÄù = 8 + (15-1)*5
  127.      
  128.  
  129.     aÄù = 78
  130.      
  131.  
  132. Odp.: D.
  133. ¡ 
  134.  
  135.    Znajdª  n-ty  wyraz  a½  ciågu  arytmetycznego  (a½),
  136.                 
  137. jeºeli: 
  138.  
  139.  
  140.  
  141.       aÄ  =  110,          r  = -10,          n  =  11, 
  142.        
  143.  
  144.   A.      -10;  B.       11;  C.       10;  D.       15; 
  145.  
  146. ¡ 
  147. C 
  148.  
  149.    Naleºy podane  warto₧ci  podstawiì  do  wzoru na n-ty  
  150.  
  151. wyraz ciågu.
  152.  
  153.  
  154.     a½ = aÄ + (n-1)r.
  155.  
  156. ¡ 
  157.  
  158.    Naleºy podane  warto₧ci  podstawiì  do  wzoru na n-ty  
  159.  
  160. wyraz ciågu.
  161.  
  162.  
  163.     a½ = aÄ + (n-1)r.
  164.  
  165.  
  166.     aÄÄ = 110 + (11-1)(-10)
  167.      
  168.  
  169.     aÄÄ = 10
  170.     
  171.  
  172. Odp.: C.
  173. ¡ 
  174.  
  175.    Znajdª  n-ty  wyraz  a½  ciågu  arytmetycznego  (a½), 
  176.                     
  177. jeºeli: 
  178.  
  179.  
  180.  
  181.       aÄ  =  4,          r  = -0,25 ,         n  =  13, 
  182.        
  183.  
  184.   A.        1;  B.       4;  C.       -5;  D.      -13; 
  185.  
  186. ¡ 
  187. A 
  188.  
  189.    Naleºy podane  warto₧ci  podstawiì  do  wzoru na n-ty  
  190.  
  191. wyraz ciågu.
  192.  
  193.  
  194.     a½ = aÄ + (n-1)r.
  195.      
  196. ¡ 
  197.  
  198.    Naleºy podane  warto₧ci  podstawiì  do  wzoru na n-ty  
  199.  
  200. wyraz ciågu.
  201.  
  202.  
  203.     a½ = aÄ + (n-1)r.
  204.      
  205.  
  206.     aÄö = 4 + (13-1)(-0,25)
  207.      
  208.  
  209.     aÄö = 1
  210.     
  211.  
  212. Odp.: A.
  213. ¡ 
  214.  
  215.    Znajdª  n-ty  wyraz  a½  ciågu  arytmetycznego  (a½), 
  216.  
  217. jeºeli: 
  218.  
  219.  
  220.  
  221.       aÄ  = -1,6,          r  = -0,2,         n  =  23, 
  222.        
  223.  
  224.   A.       15;  B.       -6;  C.       -8;  D.       8; 
  225.  
  226. ¡ 
  227. B 
  228.  
  229.    Naleºy podane  warto₧ci  podstawiì  do  wzoru na n-ty  
  230.  
  231. wyraz ciågu. 
  232.  
  233.  
  234.     a½ = aÄ + (n-1)r.
  235.  
  236. ¡ 
  237.  
  238.    Naleºy podane  warto₧ci  podstawiì  do  wzoru na n-ty  
  239.  
  240. wyraz ciågu.
  241.  
  242.  
  243.     a½ = aÄ  + (n-1)r.
  244.     
  245.  
  246.     aôö = -1,6 + (23-1)(-0,2)
  247.      
  248.  
  249.     aôö   = -6
  250.      
  251.  
  252. Odp.: B.
  253. ¡ 
  254.  
  255.    Rozwi庠równanie: 
  256.  
  257.  
  258.  
  259.  
  260.             5ä* 5ç* 5ë* ... * 5ä¿  =  (0,04)·äï 
  261.  
  262.  
  263.  
  264.   A.  x = -15;  B.    x = 3;  C.    x = 7;  D.  x = 10; 
  265.  
  266. ¡ 
  267. C
  268.  
  269.    Równanie naleºy przeksztaÆciì: 
  270.  
  271.  
  272.    5ä* 5ç* 5ë* ... * 5ä¿   = (0,04)·äï
  273.  
  274.  
  275.    5«ä ² ç ² ë ² ééé ² ä¿» =  25äï
  276.  
  277.  
  278.    5«ä ² ç ² ë ² ééé ² ä¿» =  5«ä ⁿ äï»
  279.  
  280.  
  281. Wynika ståd ºe: 
  282.  
  283.    2 + 4 + 6 + ... + 2x = 56 
  284.  
  285. Teraz naleºy skorzystaì ze wzoru na sumæ wyrazów ciågu: 
  286.  
  287.  
  288.          n(aÄ + a½)
  289.    S½ = ────────────
  290.              2
  291.  
  292. gdzie: 
  293.  
  294.    n = x;  aÄ = 2;  a½ = 2x;  S½ = 56
  295.  
  296.  
  297. Otrzymanå równo₧ì naleºy rozwiåzaì ze wzglædu na x.
  298. ¡ 
  299.  
  300.    Równanie naleºy przeksztaÆciì: 
  301.  
  302.  
  303.    5ä* 5ç* 5ë* ... * 5ä¿   = (0,04)·äï
  304.  
  305.  
  306.    5«ä ∙ ç ∙ ë ∙ ééé ∙ ä¿» =  25äï
  307.  
  308.  
  309.    5«ä ∙ ç ∙ ë ∙ ééé ∙ ä¿» =  5«ä ° äï»
  310.  
  311.  
  312. Wynika ståd ºe: 
  313.  
  314.    2 + 4 + 6 + ... + 2x = 56 
  315.  
  316.  
  317.         S¬ = 56
  318.          
  319.  
  320.  
  321.           x(2 + 2x)
  322.    S¬ = ─────────────
  323.               2
  324.  
  325.  
  326.    S¬ = x(x + 1) 
  327.     
  328.  
  329.  
  330.    x(x + 1) = 56;  wiæc  x = 7 
  331.  
  332. Odp.: C.
  333. ¡ 
  334.  
  335.    Rozwi庠równanie: 
  336.  
  337.  
  338.                                      
  339.                             ┌  1  ┐(x-2):3
  340.    3â* 3ä* 3à* ... * 3¿  =  │─────│   
  341.                             └  27 ┘ 
  342.  
  343.  
  344.   A.    x = 1;  B.  x = -10;  C.    x = 5;  D.  x = 10; 
  345.  
  346. ¡ 
  347. A 
  348.  
  349.    Równanie naleºy przeksztaÆciì: 
  350.  
  351.                                      
  352.                             ┌  1  ┐(x-2):3
  353.    3â* 3ä* 3à* ... * 3¿  =  │─────│  
  354.                             └  27 ┘ 
  355.  
  356.                                       
  357.    3«â ∙ ä ∙ à ∙ ééé ∙ ¿»  =  27«ä·¿»√à    
  358.                                  
  359.  
  360.  
  361.    3«â ∙ ä ∙ à ∙ ééé ∙ ¿»  =  3ä·¿    
  362.  
  363.  
  364.  
  365.    1 + 2 + 3 + ... + x  =  2 - x 
  366.  
  367.  
  368. Teraz naleºy skorzystaì ze wzoru na sumæ wyrazów ciågu: 
  369.  
  370.  
  371.          n(aÄ + a½)
  372.    S½ = ────────────
  373.              2
  374.  
  375.  
  376. gdzie: 
  377.  
  378.    n = x;  aÄ = 1;  a½ = x;  S½ = 2 - x
  379.  
  380.  
  381. Otrzymanå równo₧ì naleºy rozwiåzaì ze wzglædu na x.
  382.  
  383. ¡ 
  384.  
  385.    Równanie naleºy przeksztaÆciì: 
  386.  
  387.                             ┌  1  ┐(x-2):3
  388.    3â* 3ä* 3à* ... * 3¿  =  │─────│  
  389.                             └  27 ┘ 
  390.  
  391.                                       
  392.    3«â ∙ ä ∙ à ∙ ééé ∙ ¿»  =  27«ä·¿»√à    
  393.                                  
  394.  
  395.  
  396.    3«â ∙ ä ∙ à ∙ ééé ∙ ¿»  =  3ä·¿    
  397.  
  398.  
  399.  
  400.    1 + 2 + 3 + ... + x  =  2 - x 
  401.  
  402.  
  403.           x(1 + x)
  404.    S¬ =  ──────────
  405.              2
  406.  
  407.  
  408.     x(x + 1)
  409.    ──────────  =  2 - x 
  410.        2
  411.  
  412.  
  413.    x(x + 1) = 4 - 2x 
  414.  
  415.  
  416.    x(x + 3) = 4;  wiæc  x = 1
  417.  
  418. Odp.: A.
  419. ¡ 
  420.  
  421.    Obliczyì    sumæ    poczåtkowych   dwudziestu   liczb 
  422.  
  423. naturalnych, które przy dzieleniu przez 7 dajå resztæ 3. 
  424.  
  425.  
  426.  
  427.  
  428.  
  429.  
  430.   A.     1530;  B.     2000;  C.     1123;  D.     988; 
  431.  
  432. ¡ 
  433. A 
  434.  
  435.    Liczby,  które  przy  dzieleniu przez 7 dajå resztæ 3 
  436.  
  437. stanowiå ciåg arytmetyczny: 
  438.  
  439.    aÄ = 7 + 3 = 10 
  440.     
  441.  
  442.    aô = 2 * 7 + 3 = 17 
  443.     
  444.  
  445.    aö = 3 * 7 + 3 = 24 
  446.     
  447.  
  448.    .................. 
  449.  
  450.    aôƒ = 20 * 7 + 3 = 143 
  451.     
  452.  
  453. Teraz naleºy skorzystaì ze wzoru na sumæ wyrazów ciågu: 
  454.  
  455.          n(aÄ + a½)
  456.    S½ = ────────────
  457.              2
  458.  
  459. ¡ 
  460.  
  461.    Liczby,  które  przy  dzieleniu przez 7 dajå resztæ 3 
  462.  
  463. stanowiå ciåg arytmetyczny: 
  464.  
  465.    aÄ = 7 + 3 = 10 
  466.     
  467.  
  468.    aô = 2 * 7 + 3 = 17 
  469.     
  470.  
  471.    aö = 3 * 7 + 3 = 24 
  472.     
  473.  
  474.    .................. 
  475.  
  476.    aôƒ = 20 * 7 + 3 = 143 
  477.    
  478.  
  479.           20(10 + 143)
  480.    Sôƒ =  ──────────────
  481.                2
  482.  
  483.    Sôƒ =  1530
  484.     
  485.  
  486. Odp.: A.
  487. ¡ 
  488.  
  489.    Znajdª  liczbæ wyrazów ciågu arytmetycznego, jeºeli: 
  490.  
  491.    ┌
  492.    │ aô + aû + aô½ = 126 
  493.    │   
  494.    ┤
  495.    │      aô + aô½ = 42 
  496.    │        
  497.    └
  498.   A.    n = 5;  B.    n = 8;  C.    n = 9;  D.   n = 6; 
  499.  
  500. ¡ 
  501. D 
  502. Naleºy skorzystaì ze wzoru na sumæ wyrazów ciågu: 
  503.  
  504.          n(aÄ + a½)
  505.    S½ = ────────────
  506.              2
  507.  
  508. gdzie: 
  509.  
  510.    aÄ = aô ;  a½ = aô½ ;  S½ = 126
  511.  
  512.  
  513. Otrzymane równanie naleºy rozwiåzaì ze wzglædu na n. 
  514.  
  515. ¡ 
  516.  
  517.    Liczymy sumæ odpowiednich wyrazów ciågu: 
  518.  
  519.    aô + aô + ... + aô½ = S½
  520.  
  521.  
  522.  
  523.           n(aô + aô½)
  524.    S½ =  ─────────────
  525.                2 
  526.  
  527.  
  528.           42 * n
  529.    S½ =  ────────
  530.             2
  531.  
  532.  
  533.    21n = 126 
  534.  
  535.  
  536.    n = 6 
  537.  
  538. Odp.: D.
  539. ¡ 
  540.  
  541.    Ciåg  arytmetyczny  skÆada  siæ  z  20  wyrazów. Suma 
  542.  
  543. wyrazów  parzystych jest równa 250, a suma nieparzystych 
  544.  
  545. 220. Znaleªì dwa ₧rodkowe wyrazy ciågu (aă i  aÄÄ).
  546.                                         
  547.  
  548.  
  549.  
  550.   A.  19 i 27;  B.  25 i 30;  C.  22 i 25;  D. 20 i 23; 
  551.  
  552. ¡ 
  553. C 
  554.  
  555.    Nie   trudno   zauwaºyì,  ºe  aby  ciåg  arytmetyczny 
  556.  
  557. zawieraÆ  wyrazy  parzyste  i  nieparzyste  to muszå one 
  558.  
  559. leºeì na przemian. 
  560.  
  561. ZakÆadamy ºe: 
  562.  
  563.    aÄ, aö, ... , aÄ¥ - to wyrazy nieparzyste, 
  564.      
  565.  
  566.    aô, aû, ... , aôƒ - to wyrazy parzyste.
  567.     
  568.  
  569.    SN  - to suma wyrazów nieparzystych,
  570.     
  571.  
  572.    SP  - to suma wyrazów parzystych. 
  573.      
  574.  
  575.           10 * ( aÄ + aÄ¥)
  576.    SN =  ────────────────── ;    aÄ¥ = a Ä+ 18r
  577.                 2                
  578.  
  579.    SN =  5 * (2 * aÄ + 18r) = 10 * aÄ + 90r  = 220
  580.  
  581.  
  582.  
  583.           10 * ( aô + aôƒ)
  584.    SP =  ──────────────────;    aô = aÄ + r
  585.                 2                
  586.  
  587.  
  588.                 aôƒ = aÄ + 19r
  589.               
  590.  
  591.  
  592.    SP =  5 * (2 * aÄ + 20r) = 10 * aÄ + 100r = 250
  593.  
  594.  
  595.  
  596. ståd: 
  597.   ┌
  598.   │ aÄ + 9r  = 22
  599.   │  
  600.   ┤
  601.   │ aÄ + 10r = 25
  602.   │  
  603.   └
  604.  
  605. Po rozwiåzaniu tego ukÆadu równañ mamy: 
  606.  
  607.    aÄ - pierwszy wyraz ciågu  i 
  608.     
  609.  
  610.    r  - róºnicæ ciågu.
  611.  
  612. nastæpnie korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciågu: 
  613.  
  614.    a½ = aÄ + (n - 1)r
  615.    
  616.  
  617. ¡ 
  618.  
  619.    Nie   trudno   zauwaºyì,  ºe  aby  ciåg  arytmetyczny 
  620.  
  621. zawieraÆ  wyrazy  parzyste  i  nieparzyste  to muszå one 
  622.  
  623. leºeì na przemian. 
  624.  
  625. ZakÆadamy ºe: 
  626.  
  627.    aÄ, aö, ... , aÄ¥ - to wyrazy nieparzyste, 
  628.      
  629.  
  630.    aô, aû, ... , aôƒ - to wyrazy parzyste.
  631.     
  632.  
  633.    SN  - to suma wyrazów nieparzystych,
  634.     
  635.  
  636.    SP  - to suma wyrazów parzystych. 
  637.      
  638.  
  639.           10 * ( aÄ + aÄ¥)
  640.    SN =  ────────────────── ;    aÄ¥ = a Ä+ 18r
  641.                 2                
  642.  
  643.    SN =  5 * (2 * aÄ + 18r) = 10 * aÄ + 90r  = 220
  644.  
  645.  
  646.  
  647.           10 * ( aô + aôƒ)
  648.    SP =  ──────────────────;    aô = aÄ + r
  649.                 2                
  650.  
  651.  
  652.                 aôƒ = aÄ + 19r
  653.               
  654.  
  655.  
  656.    SP =  5 * (2 * aÄ + 20r) = 10 * aÄ + 100r = 250
  657.  
  658.  
  659.  
  660. ståd: 
  661.   ┌
  662.   │ aÄ + 9r  = 22
  663.   │  
  664.   ┤
  665.   │ aÄ + 10r = 25
  666.   │  
  667.   └
  668.  
  669.    a½ = aÄ + (n - 1)r
  670.    
  671.    aÄ = -5
  672.     
  673.  
  674.    r  = 3
  675.  
  676.         aă =  aÄ + 9r        aÄÄ =  aÄ + 10r
  677.  
  678.  
  679.         aă = 22              aÄÄ = 25
  680.  
  681.  
  682. Odp.: C.
  683. ¡ 
  684.  
  685.    Pomiædzy liczby 1 i 257 wstawiì trzy liczby a, b, c w 
  686.  
  687. taki  sposób  aby ciåg  (1,  a,  b,  c, 257) byÆ ciågiem 
  688.  
  689. arytmetycznym. 
  690.  
  691.  
  692.   A. (1, 62, 165, 199, 257);  B. (1, 65, 129, 193, 257);
  693.  
  694.   C. (1, 50, 154, 211, 257);  D. (1, 63, 129, 197, 257);
  695.  
  696. ¡ 
  697. B 
  698.    Naleºy skorzystaì z  wÆasno₧ci ciågu  arytmetycznego,
  699.  
  700. która mówi, ºe dowolny  wyraz  ciågu arytmetycznego jest
  701.  
  702. ₧redniå     arytmetycznå    wyrazów    bezpo₧rednio   go
  703.  
  704. poprzedzajåcych: 
  705.  
  706.  
  707.          a½■Ä + a½²Ä
  708.    a½ = ─────────────
  709.              2 
  710.  
  711. ¡ 
  712.  
  713.    (1, a, b, c, 257) - szukany ciåg.
  714.  
  715.    Korzystamy z wÆasno₧ci ciågu arytmetycznego: 
  716.  
  717.  
  718.         257 + 1
  719.    b = ─────────
  720.           2 
  721.  
  722.    b = 129 
  723.  
  724.         b + 1
  725.    a = ───────
  726.           2 
  727.  
  728.    a = 65 
  729.  
  730.         b + 257
  731.    c = ─────────
  732.            2 
  733.  
  734.    c = 193 
  735.  
  736.    a = 65;  b = 129;  c = 193. 
  737.  
  738. Odp.: B.
  739. ¡ 
  740.  
  741.    Znaleªì  ciåg  arytmetyczny,  którego  pierwszy wyraz 
  742.  
  743. jest  równy  1,  a suma poczåtkowych piæciu wyrazów jest 
  744.  
  745. cztery  razy mniejsza od sumy nastæpnych piæciu wyrazów.
  746.  
  747.  
  748.  
  749.  
  750.   A. a½ = 6-5n;  B. a½ = 2-n; C. a½ = 4-3n; D. a½ = 7+n; 
  751.  
  752. ¡ 
  753. C 
  754.  
  755.    aÄ = 1
  756.     
  757.  
  758.  
  759.    4(aÄ + aô + aö + aû + aù) = aÖ + aÜ + a¢ + a¥ + aă
  760.  
  761.  
  762.  
  763.    a½ = aÄ + (n - 1) * r
  764.  
  765.  
  766.  
  767.     5 * 4 (1 + 1 + 4r)       5 * (1 + 5r + 1 + 9r) 
  768.   ─────────────────────  =  ───────────────────────
  769.             2                          2
  770.  
  771. Po  rozwiåzaniu  równania  znamy  juº  róºnicæ  ciågu wiæc  Æatwo 
  772.  
  773. moºemy go opisaì. 
  774.  
  775. ¡ 
  776.  
  777.    aÄ = 1
  778.     
  779.  
  780.  
  781.    4(aÄ + aô + aö + aû + aù) = aÖ + aÜ + a¢ + a¥ + aă
  782.  
  783.  
  784.  
  785.    a½ = aÄ + (n - 1) * r
  786.  
  787.  
  788.  
  789.     5 * 4 (1 + 1 + 4r)       5 * (1 + 5r + 1 + 9r) 
  790.   ─────────────────────  =  ───────────────────────
  791.             2                          2
  792.  
  793.  
  794.    4(2 + 4r) = 2 + 14r
  795.  
  796.  
  797.    r = -3
  798.  
  799.  
  800.    a½ = aÄ + (n - 1)r
  801.  
  802.  
  803.  
  804.    a½ = 1 - 3(n - 1)
  805.         
  806.  
  807.  
  808.    a½ = 4 - 3n 
  809.     
  810.  
  811. Odp.: C.
  812. ¡ 
  813.  
  814.    Rozwiåzaì równanie: 
  815.  
  816.  
  817.      (x + 1) + (x + 4) + ... + (x + 28) = 155 
  818.  
  819.  
  820.  
  821.  
  822.  
  823.   A.   x = -3;  B.    x = 1;  C.    x = 5;  D.   x = 8; 
  824.  
  825. ¡ 
  826. B 
  827.  
  828.    Liczymy róºnicæ ciågu: 
  829.  
  830.    r = (x + 4) - (x + 1) = 3 
  831.  
  832.  
  833.    a½ = aÄ + (n - 1)r 
  834.  
  835.  
  836.  
  837.    a½ = x + 28
  838.     
  839.  
  840.  
  841.    x + 28 = (x + 1) + 3(n - 1) 
  842.  
  843.  
  844.    n = 10 
  845.  
  846.  
  847.    Ciåg ten skÆada siæ z 10 wyrazów. 
  848.  
  849. Teraz naleºy skorzystaì ze wzoru na sumæ wyrazów ciågu: 
  850.  
  851.  
  852.          n(aÄ + a½)
  853.    S½ = ──────────── 
  854.               2
  855.  
  856. gdzie: 
  857.  
  858.    S½ = 155
  859.     
  860.  
  861. ¡ 
  862.  
  863.    Liczymy róºnicæ ciågu: 
  864.  
  865.  
  866.    r = (x + 4) - (x + 1) = 3 
  867.  
  868.  
  869.    a½ = aÄ + (n - 1)r 
  870.  
  871.  
  872.  
  873.    a½ = x + 28
  874.  
  875.  
  876.  
  877.    x + 28 = (x + 1) + 3(n - 1) 
  878.  
  879.  
  880.    n = 10 
  881.  
  882.    Ciåg ten skÆada siæ z 10 wyrazów. 
  883.  
  884.  
  885.           10(x + 1  +  x + 28)
  886.    Să = ────────────────────── = 155
  887.                    2
  888.  
  889.  
  890.    5(2x + 29) = 155 
  891.  
  892.    2x + 29 = 31 
  893.  
  894.    2x = 2 
  895.  
  896.    x = 1 
  897.  
  898. Odp.: B.
  899. ¡ 
  900.                                                        
  901.    DÆugo₧ci boków  trójkåta prostokåtnego o polu 150 cmä 
  902.  
  903. tworzå ciåg arytmetyczny. Obliczyì obwód tego trójkåta. 
  904.  
  905.  
  906.  
  907.  
  908.  
  909.  
  910.   A.       45;  B.       95;  C.       60;  D.      50; 
  911.  
  912. ¡ 
  913. C 
  914.  
  915.    a, b, c -  dÆugo₧ci  boków  trójkåta,  tworzåce  ciåg 
  916.           
  917.              arytmetyczny,
  918.  
  919.    O      -  Obwód trójkåta. 
  920.  
  921.    a > 0,  b > 0,  c > 0 
  922.  
  923.         a + c
  924.    b = ───────
  925.           2
  926.  
  927.    b - a = c - b;  c = 2b - a
  928.  
  929.  
  930.  
  931.    aä + bä = cä
  932.  
  933.  
  934.  
  935.    [0,5(a + c)]ä + aä = cä
  936.  
  937.  
  938.  
  939.    cä + 2ac + aä + 4aä = 4cä
  940.  
  941.  
  942.  
  943.    2ac + 5aä = 3cä
  944.  
  945.  
  946.  
  947.    2a(2b - a) + 5aä - 3(2b - a)ä = 0 
  948.  
  949.  
  950.    Po  rozwiåzaniu   równania   otrzymujemy    zaleºno₧ì 
  951.  
  952. miædzy a i b, wiedzåc, ºe   0,5ab = 150  (pole trójkåta)
  953.  
  954. wyliczamy a i b oraz c. 
  955.  
  956. Majåc dÆugo₧ci wszystkich boków liczymy obwód.
  957.  
  958. ¡ 
  959.  
  960.    a, b, c -  dÆugo₧ci  boków  trójkåta,  tworzåce  ciåg 
  961.           
  962.              arytmetyczny,
  963.  
  964.    O      -  Obwód trójkåta. 
  965.  
  966.    a > 0,  b > 0,  c > 0 
  967.  
  968.  
  969.         a + c
  970.    b = ───────
  971.           2
  972.  
  973.    b - a = c - b;  c = 2b - a
  974.  
  975.  
  976.  
  977.    aä + bä = cä
  978.  
  979.  
  980.  
  981.    [0,5(a + c)]ä + aä = cä
  982.  
  983.  
  984.  
  985.    cä + 2ac + aä + 4aä = 4cä
  986.  
  987.  
  988.  
  989.    2ac + 5aä = 3cä
  990.  
  991.  
  992.  
  993.    2a(2b - a) + 5aä - 3(2b - a)ä = 0 
  994.  
  995.  
  996.  
  997.    4ab + 3aä - 12bä + 12ab - 3aä = 0 
  998.  
  999.  
  1000.  
  1001.    4ab - 3bä = 0 
  1002.  
  1003.  
  1004.    4a = 3b 
  1005.  
  1006.    a = 0,75b 
  1007.  
  1008.    0,5ab = 150 
  1009.  
  1010.  
  1011.          
  1012.    0,375bä = 150 
  1013.  
  1014.  
  1015.     
  1016.    bä = 400 
  1017.  
  1018.  
  1019.    b  = 20;  a = 0,75 * 20 = 15
  1020.  
  1021.    c = 2b - a 
  1022.  
  1023.    c = 40 - 15 = 25 
  1024.  
  1025.    O = a + b + c 
  1026.  
  1027.    O = 15 + 20 + 25 = 60 
  1028.  
  1029. Odp.: C.
  1030. ¡ 
  1031.  
  1032.    DÆugo₧ci  boków  trójkåta  prostokåtnego  tworzå ciåg 
  1033.  
  1034. arytmetyczny.  Oblicz dÆugo₧ci przyprostokåtnych, jeºeli 
  1035.  
  1036. wiadomo, ºe dÆugo₧ì przeciwprostokåtnej wynosi 30 cm. 
  1037.  
  1038.  
  1039.  
  1040.  
  1041.   A.  18 i 24;  B.  15 i 20;  C.  20 i 25;  D. 10 i 20; 
  1042.  
  1043. ¡ 
  1044. A 
  1045.  
  1046.    a, b, c - dÆ. boków trójkåta. 
  1047.  
  1048.    a > 0;  b > 0;  c > 0; 
  1049.  
  1050.  
  1051.    c = 30 
  1052.  
  1053.    c - b = b - a;  2b - a = c
  1054.  
  1055.  
  1056.  
  1057.    aä + bä = cä
  1058.  
  1059.  
  1060.  
  1061.    aä + bä = (2b - a)ä
  1062.  
  1063.  
  1064.    Po wyliczeniu b wynik wstawiamy do równania:
  1065.  
  1066.  
  1067.    2b - a = 30
  1068.  
  1069.    Nastæpnie liczymy a i b.
  1070. ¡ 
  1071.  
  1072.    a, b, c - dÆ. boków trójkåta. 
  1073.  
  1074.    a > 0;  b > 0;  c > 0; 
  1075.  
  1076.    c = 30 
  1077.  
  1078.    c - b = b - a;  2b - a = c
  1079.  
  1080.  
  1081.  
  1082.    aä + bä = cä
  1083.  
  1084.  
  1085.    aä + bä = (2b - a)ä
  1086.  
  1087.      
  1088.    3bä - 4ab = 0 
  1089.  
  1090.    4a = 3b 
  1091.  
  1092.    a = 0,75b 
  1093.  
  1094.    2b - a = 30 
  1095.  
  1096.    b = 24 
  1097.  
  1098.    a = 2b - c 
  1099.  
  1100.    a = 18 
  1101.  
  1102. Odp.: A.
  1103. ¡ 
  1104.  
  1105.    Trzy  liczby,  których suma jest równa 93 tworzå ciåg 
  1106.  
  1107. geometryczny.  Te same liczby moºemy uwaºaì za pierwszy, 
  1108.  
  1109. drugi  i  siódmy  wyraz ciågu arytmetycznego. Znaleªì te 
  1110.  
  1111. liczby. 
  1112.  
  1113.   A. (3,15,75) i (31,31,31);  B. (5,15,60) i (31,31,31);
  1114.  
  1115.   C. (20,25,30) i (30,25,20); D. (3,15,75)  i (75,15,3);
  1116. ¡ 
  1117. A
  1118.  
  1119.    aÄ , aô , aö - szukane liczby.
  1120.  
  1121.  
  1122. aÄ + aô + aö = 93
  1123.  
  1124.  
  1125.  
  1126.    aô : aÄ = aö : aô ;  aôä = aÄ * aö - ciåg geometryczny
  1127.  
  1128.  
  1129.  
  1130.  aö = aÄ + 6 * (aô - aÄ)  - 7 wyraz ciågu arytmetycznego
  1131.  
  1132.  
  1133.  
  1134.  aö = 6aô - 5aÄ
  1135.  
  1136.  
  1137.  
  1138.  aö = 93 - aÄ - aô
  1139.  
  1140.  
  1141.    Naleºy wyraziì aô i aö za pomåcå aÄ.
  1142.  
  1143.    W tym celu porównujemy ostatnie dwa równania. 
  1144.  
  1145.    Póªniej liczymy aÄ korzystajåc z zaleºno₧ci :  
  1146.                                                 
  1147.  
  1148.       aô : aÄ =  aö : aô
  1149.  
  1150. ¡ 
  1151.  
  1152.    aÄ , aô , aö - szukane liczby.
  1153.  
  1154.  
  1155. aÄ + aô + aö = 93
  1156.  
  1157.  
  1158.    aô : aÄ = aö : aô ;   aôä = aÄ * aö
  1159.  
  1160.  
  1161.  aö = aÄ + 6 * (aô - aÄ)  - 7 wyraz ciågu arytmetycznego
  1162.  
  1163.  
  1164.  aö = 6aô - 5aÄ
  1165.  
  1166.  
  1167.  aö = 93 - aÄ - aô
  1168.  
  1169.  
  1170.  aô = (93 + 4aÄ) : 7
  1171.  
  1172.  
  1173.  aö = (558 - 11aÄ) : 7
  1174.  
  1175.  
  1176.    aô : aÄ = aö : aô
  1177.  
  1178.  
  1179.    (93 + 4aÄ) : 7aÄ = (558 - 11aÄ) : (93 + 4aÄ)
  1180.  
  1181.  
  1182.  
  1183.    31aÄä - 1054aÄ + 2883 = 0
  1184.  
  1185.  
  1186.  
  1187.    aÄ = 3   lub   aÄ = 31
  1188.  
  1189.  
  1190.    aô = 15        aô = 31
  1191.  
  1192.  
  1193.    aö = 75        aö = 31
  1194.  
  1195.  
  1196.    (3, 15, 75) lub (31, 31, 31) 
  1197.  
  1198. Odp.: A.
  1199. ¡ 
  1200.  
  1201.    Suma    pierwszego    i    trzeciego   wyrazu   ciågu 
  1202.  
  1203. geometrycznego  wynosi  60.  Suma kwadratów tych wyrazów 
  1204.  
  1205. jest równa 2952. Znaleªì iloraz tego ciågu. 
  1206.  
  1207.  
  1208.   A. -3 lub -2 lub 5 lub 10;    B. -3; -0,(3); 0,(3); 3;
  1209.  
  1210.   C. -10 lub -5 lub 5 lub 10;   D.  -2;  -0,5;  0,5;  2;
  1211.  
  1212. ¡ 
  1213. B 
  1214.  
  1215.    aÄ , aô , aö  - ciåg geometryczny.
  1216.  
  1217.  
  1218.  
  1219.    aÄ + aö = 60
  1220.  
  1221.  
  1222.  
  1223.    aÄä + aöä = 2952
  1224.  
  1225.  
  1226.  
  1227.    (aÄ + aö)ä = 60ä
  1228.  
  1229.  
  1230.  
  1231.    aÄä + aöä + 2aÄaö = 3600
  1232.  
  1233.  
  1234.    2aÄaö = 3600 - 2952
  1235.  
  1236.  
  1237.    aÄaö = 324
  1238.  
  1239.  
  1240.    aÄ + aö = 60
  1241.  
  1242.  
  1243.    Z ostatnich dwóch równañ wyliczamy aÄ.
  1244.                                       
  1245.  
  1246.    Z wÆasno₧ci ciågu geometrycznego wiemy ºe:
  1247.  
  1248.  
  1249.    aÄaö = aôä  
  1250.  
  1251.  
  1252.    Majåc aÄ i aô liczymy iloraz ciågu który jest równy :
  1253.  
  1254.  
  1255.       aô : aÄ
  1256.  
  1257. ¡ 
  1258.  
  1259.    aÄ , aô , aö  - ciåg geometryczny.
  1260.  
  1261.  
  1262.    aÄ + aö = 60
  1263.  
  1264.  
  1265.    aÄä + aöä = 2952
  1266.  
  1267.  
  1268.    (aÄ + aö)â = 60â
  1269.  
  1270.  
  1271.    aÄä + aöä + 2aÄaö = 3600
  1272.  
  1273.  
  1274.    2aÄaö = 3600 - 2952
  1275.  
  1276.  
  1277.    aÄaö = 324
  1278.  
  1279.  
  1280.    aÄaö = aôä  - z wÆa₧ciwo₧ci ciågu geometrycznego.
  1281.  
  1282.  
  1283.    aô = 18   lub aô = -18
  1284.  
  1285.  
  1286.    aÄ + aö = 60
  1287.  
  1288.  
  1289.    aÄaö = 324
  1290.  
  1291.  
  1292.    aÄ = 6   lub aÄ = 54
  1293.  
  1294.    q  = aô : aÄ
  1295.  
  1296.  
  1297.    qÄ = 3;  qô = 0,(3);  qö = -3;  qû = -0,(3)
  1298.  
  1299.  
  1300. Odp.: B.
  1301. ¡